Có thể vẽ được mọi đường cong không?

Vào những đêm mùa hè, chúng ta thường thấy các ngôi sao băng trên bầu trời sao. Các ngôi sao băng dịch chuyển trên bầu trời dưới dạng các đường cong. Nếu bạn đốt một nén hương trừ muỗi (tốt nhất vào ban đêm) rồi di động, đốm lửa ở đầu nén hương sẽ vẽ thành đường cong giống như sao băng. Chính từ gợi ý này mà các nhà toán học đã nghĩ ra phương pháp “vẽ bằng điểm” để vẽ các đường cong. Đường tròn, đường parabôn, đường hypecbôn, đường hình sin v.v... đều được vẽ theo phương pháp vẽ điểm.

Thế nhưng liệu có phải mọi đường cong phẳng đều có thể được vẽ bằng phương pháp vẽ điểm? Tiến thêm một bước có thể đặt câu hỏi liệu có thể có các đường cong phẳng nhất định cần phải được vẽ ra không?

Đến đây ta lại cần phải định nghĩa về đường cong phẳng. Thực ra từ năm 1893, nhà toán học Pháp Giocđan (Jordan) đã đưa ra định nghĩa rõ ràng về đường cong mà trước đó các nhà toán học chưa hề đưa ra định nghĩa chính thức về đường cong. Đường cong là một khái niệm mà hình học sử dụng như một khái niệm ban đầu. Trong khái niệm ban đầu này, đường cong là đường được vẽ ra chỉ có độ dài mà không có bề rộng, và một đường được tự nhiên vẽ ra sẽ là một loại đường cong.

Từ sau khi có định nghĩa rõ ràng về đường cong, tuỳ theo sự phát triển của toán học, đặc biệt với sự phát triển của các ngành hình học vi phân, tôpô học, khái niệm đường cong ngày càng được mở rộng. Việc vẽ được hay không vẽ được không còn là tiêu chuẩn để phân biệt các đường cong. Các nhà toán học thực sự đã nghĩ ra không ít loại đường cong không thể vẽ ra được. Ví dụ nhà toán học Ba Lan Serfinski đã đưa ra định nghĩa “thảm Serfinski” là một loại đường cong phẳng. Serfinski đã làm như sau:

Chọn một hình vuông A chia thành 9 hình vuông nhỏ bằng nhau sau đó khoét bỏ hình vuông ở giữa như ở hình 1. Sau đó lại tiếp tục chia 8 hình vuông ở ngoài biên này (người ta gọi chúng là hình vuông cấp một), mỗi hình vuông thành 9 hình vuông nhỏ khác bằng nhau, sau đó

lại khoét bỏ hình vuông nhỏ ở giữa (hình 2) và nhận được 82 = 64 hình vuông bao ngoài biên (ta gọi chúng là các hình vuông cấp hai). Sau đó lại tiếp tục chia các hình vuông cấp hai theo phương pháp tương tự như đã mô tả ở trên, ta sẽ được 83 = 512 hình vuông bao quanh khác (ta gọi đó là các hình vuông cấp ba) (hình 3). Tiếp tục quá trình như vừa mô tả đến vô hạn lần, cuối cùng hình vuông chỉ còn lại tập hợp các điểm C được gọi là “Thảm Serfinski”. “Tấm thảm” này phù hợp với định nghĩa một đường cong phẳng. Đường cong phẳng loại này rõ ràng khác với đường cong phẳng thông thường khác, đường cong loại này không vẽ được bằng phương pháp vẽ điểm. Loại đường cong phẳng này có tác dụng quan trọng trong quá trình nghiên cứu khái niệm vẽ đường cong.