Vì sao số 1 không phải là số nguyên tố?

Người ta chia các số tự nhiên làm ba nhóm số: nhóm số thứ nhất thuộc loại số nguyên tố; loại thứ hai là nhóm các hợp số; số 1 không phải là số nguyên tố cũng không thuộc loại hợp số. Số nguyên tố chỉ có thể chia hết cho số 1 và chính bản thân số đó, còn hợp số có thể chia hết cho các số khác. Ví dụ số 6 là một hợp số vì ngoài số 1 và bản thân số 6, số 6 còn có thể chia hết cho 2 và 3, vì vậy việc chia số nguyên tố và hợp số thành hai nhóm riêng biệt là hoàn toàn hợp lí. Số “1” chỉ chia hết cho 1 và bản thân nó (cũng là số 1), vậy tại sao lại không ghép nó vào nhóm số nguyên tố chẳng tiện lợi hơn hay sao, vì lúc bấy giờ các số tự nhiên chỉ cần chia thành hai nhóm số là đủ?

Để giải đáp câu hỏi này, ta cần bắt đầu bàn về số nguyên tố. Ví dụ ta cần xem xét số 3003 có thể chia hết cho những số nào? Muốn trả lời câu hỏi này ta cần phải xét tính chia của 3003 cho tất cả các số từ 1 cho đến 3003 và việc làm đó cũng tốn khá nhiều công sức.

Chúng ta biết rằng mọi số tự nhiên đều có thể biểu diễn thành tích số của nhiều số nguyên tố. Hiển nhiên là mọi số tự nhiên đều có thể phân tích thành một tích số của nhiều số nguyên tố và hơn thế nữa phải là cách duy nhất. Ta hãy lấy số 3003 làm ví dụ, ta có thể thấy: 3003 = 3 x 7 x 11 x 13.

Bây giờ ta xét vì sao không thể xem số 1 là số nguyên tố?

Nếu xem “1” là số nguyên tố thì khi phân tích một số phức hợp thành tích của nhiều số nguyên tố, lúc bấy giờ sẽ không

có một lời giải duy nhất nữa. Ví như với số 3003 ta có thể viết thành: