Vì sao qua cầu hay qua hầm chỉ cần đặt trạm thu phí một chiều?

Sông Hoàng Phố chảy qua thành phố Thượng Hải, chia Thượng hải thành hai phần là Phố Đông và Phố Tây. Vào đầu những năm 90, Trung ương quyết định phát triển Phố Đông, Phố Đông mỗi ngày một đổi thay. Một khu phố mới hiện đại đã hiển hiện uy nghi.

Để giải quyết được khâu giao thông ngày càng dày đặc giữa Phố Tây và Phố Đông, người ta đã lần lượt xây dựng các đường hầm qua sông như đường hầm Phố Lộ, Đông Lộ... cùng những chiếc cầu lớn bắc qua hai bờ như cầu Nam Phố, Dương Phố... trên sông Hoàng Phố. Trước ngày 1 tháng 5 năm 2000, ô tô qua cầu phải thu phí. Những người dân sống ở Thường Hải đều có kinh nghiệm: Ô tô đi từ Phố Tây sang Phố Đông, bất kể là đi trên cầu hay dưới đường hầm, được thông một lèo; nhưng, nếu đi từ Phố Đông sang Phố Tây, thì nhất định phải qua trạm thu phí, nộp phí xong mới được đi.

Xây cầu và đường hầm phải tốn một khoản tiền cực lớn, thu phí là để bù đắp, mọi người đều thấy hợp lí. Nhưng, vì sao chỉ đặt cửa thu phí ở Phố Đông mà không có của thu phí đặt ở Phố Tây, cả đi lẫn về đều thu phí cơ mà? Lập luận thực ra hết sức đơn giản, với xe cộ (chỉ trừ một số rất ít xe quá cảnh xong không quay trở lại), khi đã lái qua cầu rồi thì bao giờ cũng quay về (đương nhiên cũng có thể đi qua theo ngả đường này, quay về theo ngả đường kia, hoặc hôm nay đi qua sông rồi đến mấy ngày sau mới quay lại). Bất kể là chỉ đặt cửa thu phí một chiều trên sông rồi thu phí qua sông khứ hồi, hay là đặt cửa thu phí cả hai chiều trên sông rồi thu phí qua sông riêng từng chiều, thì với xe cộ, phí cần phải nộp là như nhau; với cơ quan thu phí, tổng lượng thu phí cũng như nhau. Nghĩa là, chỉ cần đặt cửa thu phí một chiều trên sông là cũng có thể đạt được hiệu quả thu phí tương tự với đặt cửa thu phí hai chiều trên sông. Song, nếu chỉ đặt cửa thu phí một chiều thì sẽ tiết kiệm được một nửa chi phí dành cho xây dựng cửa thu phí và vận doanh thường ngày.

Lập luận mà mọi người đều có thể hiểu được trên đây thực ra là một ví dụ của nguyên tắc đối ngẫu trong toán học. Nguyên tắc đối ngẫu là một quan hệ đối ứng 1-1 nào đó được thiết lập giữa hai nguyên tố (chẳng hạn tập hợp xe cộ từ Phố Tây sang Phố Đông và tập hợp xe cộ từ Phố Đông sang Phố Tây), chứng tỏ các số nguyên tố nằm trong hai tập hợp là như nhau.

Nguyên tắc đối ngẫu tuy đơn giản, nhưng lại là một căn cứ suy luận hết sức quan trọng, nếu suy rộng ra cho các tập hợp vô hạn, thì sẽ lập được lí thuyết cơ số của tập hợp.

Dùng nguyên tắc đối ngẫu còn có thể giải quyết được các nan đề toán học nổi tiếng trong lịch sử, ví dụ như Bài toán đi vòng quanh đường vành đai.

Bài toán như sau: Trên đường vành đai có n bến xe, với độ cao so với mực nước biển lần lượt là 100m và 200m, cho biết nếu độ cao của hai bến xe cạnh nhau là như nhau, thì đường quốc lộ nối liền chúng là hoàn toàn bằng phẳng. Có hành khách xuất phát từ một bến xe nào đó thử đi một vòng quanh đường vành đai, phát hiện thấy số đoạn đường dốc và số đoạn đường hoàn toàn bằng phẳng là như nhau, thế là anh ta kết luận: n số bến xe là bội số của 4.

Lí do rất đơn giản: Theo điều kiện giả thiết, mỗi một đoạn đường dốc sẽ hoặc là từ độ cao 100m lên độ cao 200m, hoặc là từ độ cao 200m xuống độ cao 100m. Đi thử quanh đường vành đai một vòng, có thể thiết lập sự đối ứng 1-1 giữa các đoạn lên dốc với các đoạn xuống dốc đã đi, nếu không thì sẽ không thể quay được về độ cao ban đầu. Vì thế, nếu đoạn lên dốc có m đoạn, thì đoạn xuống dốc cũng có m đoạn, từ đó có số đoạn đường dốc k = 2m là số chẵn; bây giờ lại cho biết số đoạn đường hoàn toàn bằng phẳng cũng là k, cho nên tổng số các đoạn đường là 2k = 4m. Hiển nhiên tổng số đoạn đường chính là số bến xe, cho nên số bến xe n = 4m là bội số của 4.