Thế nào là nguyên tắc ô kéo?

Có sáu quyển sách cần xếp vào năm ô kéo. Có nhiều cách xếp sách vào các ô kéo, có ô kéo không có quyển sách nào, có ô kéo có một quyển sách, hai quyển sách,...thậm chí xếp đến sáu quyển sách. Thế nhưng cho dù cách xếp thế nào cũng có thể có một ô kéo ít nhất có hai quyển sách.

Nếu xem mỗi ô kéo đại diện cho một tập hợp, mỗi quyển sách là một phần tử của tập hợp. Giả sử có n + 1 hoặc hơn n + 1 phần tử xếp vào n tập hợp, thì rõ ràng trong đó ít nhất có một tập hợp có hai yếu tố. Đó chính là ý nghĩa trừu tượng của nguyên tắc ô kéo.

Ta xét một số ví dụ sau đây: Trong một lớp có 54 học sinh, giả thiết các học sinh đều sinh ra trong cùng một năm, thế thì ít nhất có hai học sinh được sinh ra trong cùng một tuần lễ. Vì sao lại như vậy? Dùng nguyên tắc ô kéo chúng ta lí giải điều đó khá dễ dàng.

Vì mỗi năm có 53 tuần lễ, ta xem mỗi tuần lễ như một ô kéo, xem mỗi học sinh như một quyển sách. Như vậy trong 53 ô kéo ít nhất có một ô kéo có hai quyển sách, nên ít nhất có thể có hai học sinh sinh ra trong cùng một tuần lễ.

Nói chung số quyển sách không nhất thiết chỉ nhiều hơn số ô kéo một quyển, mà có thể nhiều hơn. Ví dụ có 31 quyển sách xếp vào năm ô kéo. Bất kể là cách xếp sách như

thế nào, ít nhất có một ô kéo được xếp đến bảy quyển sách. Tổng quát hơn nếu có m x n + 1 hoặc lớn hơn m x n + 1 phần tử xếp vào n tập hợp, thì cho dù chọn cách xếp như thế nào, trong đó ít nhất có 1 tập hợp có m +1 yếu tố.

Vận dụng nguyên tắc ô kéo ta có thể giải “bài toán nhóm 6 người”. Trong nhóm 6 người bất kì ít nhất có 3 người nắm tay nhau, hoặc ít nhất có 3 người chưa hề nắm tay nhau. Xin các bạn thử xem.

86. Thế nào là bài toán 3x + 1?

Bạn tuỳ chọn một số x là số tự nhiên bất kì, ứng dụng tính chất của số tự nhiên, người ta có thể tạo nên một số tự nhiên y mới, theo phương pháp sau:

Trong số học, từ một số tự nhiên chọn tuỳ ý, theo một quy tắc nhất định tạo được một số tự nhiên khác (số mới này có thể bằng số ban đầu hoặc không bằng số ban đầu), người ta gọi đó là phép biến đổi. Ví dụ dựa vào quy tắc biến đổi có thể biến số 18 thành 9,9 hoặc bằng 28 v.v...Vấn đề là xuất phát từ một số tự nhiên, biến đổi liên tục ta sẽ thu được kết quả như thế nào? Đó là câu hỏi khá lí thú hết sức hấp dẫn của trò chơi toán học.

Dưới đây ta lấy số tự nhiên 18 làm ví dụ. Ta thử xem phép biến đổi liên tục sẽ như thế nào? Như thể hiện ở hình 1 cuối cùng xuất hiện vòng tuần hoàn 4214. Trên hình 2 thể hiện phép biến đổi của một số lẻ, số 21 cuối cùng cũng xuất hiện vòng tuần hoàn tương tự.

Ban đầu chỉ thuần tuý là một trò chơi số học, lưu hành ở địa phương nào đó của nước Mỹ. Ngày nay trò chơi đã phổ biến rộng rãi sang Châu Âu, sau đó theo người Nhật mà lưu truyền sang Châu á. Hiện tại trò chơi đã lưu truyền rộng rãi ở nhiều nước trên thế giới. Thậm chí ngày nay người ta đã dùng máy tính điện tử để xem xét các biến đổi các số từ 1 đến 7 x 1011 kết quả cũng đều nhận được vòng 4214. Đó chính là bài toán 3x + 1 hay còn gọi là vấn đề Kolaxi...Thế nhưng kết luận còn chưa có cách chứng minh và còn bó hẹp trong phạm vi số tự nhiên.