Sắp xếp lịch thi đấu theo thể thức thi đấu vòng tròn như thế nào?

Chúng ta đã biết cách tính số trận đấu theo thể thức thi đấu vòng tròn. Thế nhưng việc sắp xếp lịch thi đấu thế nào để các đấu thủ có thể gặp các đấu thủ khác nhau trong các vòng đấu? Ta xem xét ví dụ về các đội nữ trong cuộc thi đấu bóng bàn trong đó có hai bảng: một bảng có sáu đội, một bảng bảy đội. Ta thử sắp xếp lịch thi đấu cho bảng có sáu đội, sáu đội này thi đấu theo thể thức đấu vòng tròn một lượt. Kí hiệu x là số phiên hiệu các đội x ∈{1, 2,...,6}, r kí hiệu x vòng thi đấu r ∈{1, 2,...,5} như vậy mỗi đội phải tiến hành năm vòng đấu. Dưới đây là bảng sắp xếp lịch thi đấu cho sáu đội trong năm vòng thi đấu. Trong bảng có r hàng, x cột, số phiên hiệu mỗi đội là y, số vòng đấu là r.

Bảng lịch thi đấu được sắp xếp như thế nào?

Trước hết xin giới thiệu khái niệm “đồng dư”. Với hai số nguyên a, b, nếu chọn được một số m sao cho khi a, b chia cho m (số chia) thì ta được một thương số là số nguyên nhưng phép chia có số dư bằng nhau. Ví dụ với hai số a = 34 và b = 12 và nếu chọn m = 11 thì số dư của hai phép chia bằng nhau và bằng 1. Người ta nói a và b có mối liên quan với nhau qua đồng dư m và viết: a ≡ b (mod m). Ta đọc a và b đồng dư theo mođun m. Khái niệm đồng dư ra đời rất sớm từ thế kỉ thứ V. Ở Trung Quốc khái niệm đồng dư xuất hiện đầu tiên trong bộ sách “Sách toán Tôn Tử”. Trong đời sống hằng ngày chúng ta cũng thường gặp hiện tượng đồng dư. Ví dụ trong một tháng nào đó nếu ngày 2 là thứ tư thì các ngày 9, 16, 23 cũng là ngày thứ tư. Vì thế các số 9, 16, 23 liên quan với nhau qua đồng dư theo mođun 7.

Nói chung để xếp lịch thi đấu theo thể thức thi đấu vòng tròn có N đội tham gia chỉ cần ở vòng đấu thứ r ta chọn giá trị y thế nào cho x + y = r (mod N - 1) là được.

Như trong ví dụ trên, ta phải chọn y thế nào để x + y chia 5 có số dư bằng r là được.

Ví dụ ở vòng đấu thứ nhất (r = 1, x+y = 6) nên với các giá trị x = 1; y = 5; x =2; y = 4 thì đều đáp ứng được yêu cầu. Nhưng x = 3; y = 3 thì gặp trường hợp đội thứ ba lại đấu với chính mình nên không thể được. Vì vậy trong trường hợp này, ta quy ước chọn đội cuối cùng là đội số 6 thi đấu với đội 3. Như vậy ở hàng thứ nhất ta giải quyết xong.

Ở vòng thi đấu thứ hai (r = 2, x + y = 7), ở hàng thứ hai không gặp trở ngại gì.

Ở vòng đấu thứ ba (r = 3; x + y = 8), khi x = 1, y = 7 vì không có đội bóng có phiên hiệu này, nên trong trường hợp này ta chọn x + y = r thì x = 1, y = 2; x = 2, y = 1. Sau đó lại quay về x + y = 8 thì x = 3, y = 5; khi x = 4 thì y = 4 nên bây giờ y không thể bằng 4 mà lấy bằng 6.

Bằng cách tương tự người ta có thể lập lịch thi đấu cho thể thức thi đấu vòng tròn của một bảng có 6 đội.

Như vậy nếu số các đội ghi tên thi đấu là số chẵn, thì mỗi đội trong một vòng đấu đều có đấu thủ khác nhau. Tuy nhiên đây không phải là lịch đấu duy nhất. Nếu số đội tham gia thi đấu là số lẻ, thì cách xếp lịch thi đấu như vừa trình bày sẽ không thích hợp.