Làm thế nào tìm con đường ngắn nhất?

Trong cuộc sống hằng ngày chúng ta thường gặp vấn đề sau đây: Cần tìm con đường ngắn nhất đi từ điểm A đến điểm E như ở hình vẽ. Trên hình vẽ các điểm cuối mỗi đoạn đường là một địa điểm, đoạn thẳng chỉ con đường nối giữa hai điểm, con số trên mỗi đoạn thẳng chỉ cự ly của đoạn đường.

Trước hết xin dẫn ra phương pháp thông thường. Xem xét tất cả các tuyến đường có thể đi, tính toán tổng các cự ly, từ đó chọn được tuyến đường ngắn nhất. Từ A đến E có 3.3.3.1 đoạn đường có thể đi, mỗi tuyến đi cần thực hiện ba lần phép cộng, cần phải thực hiện 81 phép cộng. Ngoài ra còn phải tiến hành 26 lần phép so sánh, cuối cùng sẽ tìm được tuyến đường ngắn nhất là A → B2 → C2 → D3 → E. Cự ly tương ứng bằng 15.

Ta dễ dàng nhận thấy thực hiện như phương pháp thông thường quả là đơn giản nhưng để thực hiện lại không dễ vì phải qua nhiều địa điểm, thực hiện quá nhiều phép tính.

Vậy liệu có phương pháp nào khác không?

Giả sử ta chọn được con đường ngắn nhất là A → B2 → C2 → D3 → E thì đoạn đường nhỏ trong đó đi từ hai điểm của tuyến đường cũng phải là ngắn nhất, ví dụ C2 → D3 → E cũng phải là con đường ngắn nhất từ C2 đến E. Nếu không, khi dùng phản chứng ta phải tìm được một tuyến đường khác ngắn hơn và điều đó trái với giả thiết. Tuyến đường ngắn nhất như mô tả ở trên, chúng ta có thể bắt đầu từ cuối tuyến đường truy dần từng bước ta sẽ tìm được tuyến đường ngắn nhất từ A đến E.

Bước thứ nhất: Tìm đoạn đường ngắn nhất từ D đến E.

Từ D1, D2, D3 đến E có các tuyến f(D1) = 5, f(D2) = 8, f(D3) = 1. f(xi) biểu diễn cự ly ngắn nhất từ xi đến E.

Bước thứ hai: Xét đoạn đường ngắn nhất từ C đến E.

Xuất phát từ C1 có khả năng chọn đến D1, D2 hoặc D3.

trong đó, d(C1, D1) biểu diễn khoảng cách từ C1 đến D1, dễ dàng tìm thấy khoảng cách ngắn nhất là theo tuyến C1 → D3→ E.

Tương tự xuất phát từ C2 ta có

Và tuyến ngắn nhất là C2→D3 → E. Tương tự

Từ C3 tuyến ngắn nhất là C3 → D3 →E với f(C3) = 6

Cũng với lí do tương tự, ta tìm thấy f(B1) = 12 cho đoạn đường con B1 → C2 → D3 → E

và f(B2) = 7 cho đoạn đường con B2 → C2 → D3 → E

f(B3) = 12 cho đoạn đường con B1 → C__1 (hoặc C2) → D3 → E

Xuất phát từ A ta có:

Dựa vào quá trình tính toán, ta thấy số lượng phép toán giảm đi rất nhiều: chỉ cần 3.3 + 3.3 + 3 = 21 phép cộng và 3.2 + 3.2 + 2 = 14 phép so sánh. Nếu số địa điểm càng lớn thì ưu điểm của phương pháp càng rõ rệt. Dùng phương pháp này không chỉ cho thấy tìm được đường từ A đến E ngắn nhất mà còn biết được cự ly từ điểm này đến điểm khác của tuyến đường. Trong toán học, người ta gọi đây là phương pháp “giải pháp theo quy tắc động thái”.

“Quy tắc động thái” là phương pháp cho phép giải quyết nhanh bài toán tối ưu, do nhà toán học Mỹ Bellman đưa ra năm 1959. Đây là bài toán “tối ưu hoá” đã được phát triển thành ngành toán học mới. Phương pháp quy tắc động thái được phát huy rộng rãi trong các ngành kĩ thuật công trình, quản lí kinh tế, trong sản xuất công nghiệp và kĩ thuật quân sự và ngày càng được coi trọng, thậm chí còn được dùng trong việc chọn phạm vi trong máy tính. Bởi vì nếu dùng phương pháp thông thường thì đến cả máy tính cũng khó thực hiện hết được các phép tính.