Làm thế nào để tính số lượt trận đấu cho thể thức thi đấu loại trực tiếp?

Giả sử ở trường bạn đang tổ chức một cuộc thi đấu cờ theo thể lệ đấu loại trực tiếp, ví dụ số người ghi tên thi đấu là 50, bạn có thể tính được số trận đấu để dựa vào đó bố trí lịch thi đấu, số đấu trường. Nếu bạn được giao tổ chức cuộc thi đấu, bạn có tính được không?

Bởi vì trận đấu chung kết chỉ xảy ra giữa hai người cuối cùng, hai người này lại chọn từ 22 = 4 người trong trận đấu trước đó, mà bốn người này lại được chọn trực tiếp từ 33 = 8 người trong cuộc đấu trước đó... Nếu số người ghi tên đúng bằng các luỹ thừa của 2 như 2, 4 (22), 8 (23), 16 (24), 32 (25)...thì chỉ cần theo số người ghi tên thành nhóm tiến hành thi đấu cho từng nhóm, sau đó loại dần từng bước là được. Giả sử số người ghi tên không đúng bằng luỹ thừa nguyên của 2 thì trong thi đấu có vòng được miễn. Nếu ta xếp 2 người một thi đấu ngay từ đầu thì sẽ có một số vòng được miễn thi đấu ở giai đoạn giữa hoặc giai đoạn cuối, mà các trận đấu ở giai đoạn này thường khá căng thẳng vì các đấu thủ ngày càng mạnh, cơ hội được miễn hay không, rõ ràng không bình đẳng. Để cho cơ hội tương đối đồng đều khiến thi đấu ngày càng sôi nổi, nói chung người ta thường miễn thi đấu ở vòng một. Vì 50 là trung gian giữa 32 (25) và 64 (26) mà 50 - 32 = 18 nên vòng đầu cần loại 18 đấu thủ, tức cần tiến hành thi đấu 18 trận đấu cho vòng đầu tức có 36 người tham gia thi đấu và 14 người miễn thi đấu. Sau loạt trận thi đấu ở vòng một sẽ loại 18 đấu thủ và còn lại 32 người. Từ vòng đấu thứ hai sẽ không còn trường hợp miễn thi đấu nữa. Và ở vòng hai sẽ có 16 trận đấu, vòng thứ ba có 8 trận đấu, vòng đấu thứ tư có bốn trận đấu, vòng đấu thứ năm sẽ có hai trận đấu. Vòng đấu thứ sáu sẽ là trận chung kết để giành chức vô địch. Vậy tổng cộng số các trận đấu sẽ là 18 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 49 trận so với số đấu thủ 50 thì nhỏ hơn 1.

Ta lại xét ví dụ về trận thi đấu quốc tế về bóng đá năm 1998 ở Pháp, tổng số có 32 đội bóng đá tham gia vòng chung kết giải bóng đá thế giới năm 1998. Phương thức thi đấu ở vòng chung kết chia làm hai giai đoạn. Giai đoạn đầu chia bảng, đấu vòng tròn tính điểm, sau đó theo thể thức đấu loại trực tiếp. Nếu tiến hành thi đấu theo thể thức đấu loại trực tiếp ngay từ vòng đầu thì phải xếp bao nhiêu trận đấu? Vì 32 chính bằng 25 nên tổng số các trận đấu theo thể thức đấu loại trực tiếp sẽ là 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31 trận, ít hơn số đội tham gia là 1.

Bây giờ ta xét trường hợp chung có M người tham gia thi đấu. Giả sử M lớn hơn 2n và nhỏ hơn 2n+1, thế thì cần n + 1 vòng thi đấu, trong đó số vòng thi đấu đầu tiên sẽ là M - 2n. Sau vòng đầu, số người còn chưa thi đấu sẽ là M -(m - 2n) = 2n. Trong n vòng thi đấu tiếp sau, tổng số các trận thi đấu sẽ là:

Và tổng số các trận thi đấu sẽ là:

Nghĩa là ít hơn số đội tham gia là 1.

Thực ra, trong mỗi trận thi đấu sẽ loại bỏ một đấu thủ. Trong M người tham gia thi đấu sẽ chọn được 1 vô địch và loại bỏ M - 1 đấu thủ vì vậy số trận thi đấu là M - 1. Bạn hãy theo cách trình bày, tính số trận thi đấu bóng bàn có 158 đấu thủ nam và 96 đấu thủ nữ tham gia.