Có thể chỉ dùng compa để xác định tâm vòng tròn được không?

Trước đây chúng ta đã bàn về việc dùng thước và compa để vẽ hình. Có lúc người ta có thể dùng compa để vẽ hình cũng chính xác không kém khi dùng thước. Việc chỉ sử dụng compa để vẽ hình được thực hiện như thế nào? Đó là vấn đề chỉ dùng compa để vẽ hình. Trong đó vấn đề tìm tâm vòng tròn chỉ dùng compa là một vấn đề khá nổi tiếng.

Cách vẽ tiến hành như sau:

Trước hết ta chọn trên vòng tròn một điểm A. Lấy A làm tâm vẽ một vòng tròn cắt vòng tròn đã cho tại hai điểm B và C. Lấy B làm tâm và AB làm bán kính vẽ vòng tròn thứ ba, cắt AB tại điểm thứ ba D. Lấy A, D làm tâm, lấy CD làm bán kính vẽ hai cung tròn, hai cung tròn cắt nhau tại E. Lại lấy E làm tâm, EA làm bán kính vẽ cung tròn cắt vòng tròn A tại F. Lại lấy A, B làm tâm và FB làm bán kính vẽ hai cung tròn cắt nhau tại O, đó là tâm của vòng tròn cần tìm.

Thế tại sao với cách vẽ như vậy ta lại nhận được tâm vòng tròn? Vì qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng chỉ có vòng tròn duy nhất, để chứng minh O là tâm của vòng tròn ta cần chứng minh OA = OB = OC. Ta đã biết OB = OA (theo cách vẽ) ta chỉ cần chứng minh hoặc OB = OC (hoặc OA = OC) là đủ.

Do AD = AF, AE = DE = EF nên hai tam giác AED và AEF bằng nhau,. Vì 3 điểm D, A, B nằm trên một đường thẳng nên các góc DAF = AFB + ABF, EAD = AFB, EDA = ABF nên tam giác EAD đồng dạng với tam giác AFB và AD:BF = EA:EF.

Mặt khác BF = OB, EA = DC, AF = AB nên AD:OB = DC:AB, tam giác ABC và tam giác OAB là hai tam giác đồng dạng và. Vì vậy DC // AO.

OAC = ACD = ADC = OAB

Mà OAB = OAC, AB = AC

vậy

ΔOAB = ΔOAC và OB = OC.

Đó là điều phải chứng minh.

Trong thực tế người ta có thể dùng một phương pháp khá đơn giản gần giống với phương pháp đã mô tả. Trước hết ta chọn bốn điểm trên vòng tròn cách đều nhau. Lấy các điểm đã chọn làm tâm, chọn một bán kính thích hợp vẽ bốn cung tròn cắt nhau thành một hình bốn cạnh cong. Có thể điều chỉnh bán kính của các vòng tròn để các cung tròn tạo thành tứ giác cong nhỏ. Sau đó ta chọn bên trong tứ giác cong một điểm O, lấy O làm tâm vẽ vòng tròn bán kính OA xem vòng tròn có trùng với vòng tròn đã cho hay không. Nếu không trùng người ta lại điều chỉnh cho trùng, bằng cách đó người ta có thể nhanh chóng xác định được tâm vòng tròn.